Nový matematický návrh spája geometrické štruktúry s kľúčovými fyzikálnymi procesmi, čím otvára cestu k jednotnému chápaniu vesmíru.
V mnohých triedach sa prvý kontakt s geometriou obmedzuje na trojuholníky, priamky a uhly. Málokto si dokáže predstaviť, že táto disciplína môže byť taká mocná, že umožní opísať zákony, ktoré riadia celý vesmír. Presne to skúmajú Claudia Favola a Anna-Laura Sattelberger, dve mladé matematičky, ktorých cesty sa zbiehajú v jednom cieli. Cieľom je vytvorenie nového matematického jazyka, ktorý spojí najmenšie – subatomárne častice – s najväčším: evolúciou vesmíru.
Obe autorky, ktoré zastupujú také renomované vedecké inštitúcie ako Inria Saclay a Max Planck Institute for Mathematics in Science, podpísali ambicióznu prácu uverejnenú v časopise Notices of the American Mathematical Society. Nenavrhuje experimentálny objav, ale niečo možno ešte radikálnejšie: teoretický návrh založený na algebraickej geometrii a pozitívnej geometrii, ktorý môže slúžiť na preformulovanie základných procesov fyziky. Na kartu je vsadená možnosť využitia spoločného matematického rámca na štúdium javov, počnúc zrážkami častíc a končiac štruktúrami raného vesmíru.
Nový jazyk na zjednotenie mierok
Pozitívna geometria, jeden z ústredných pojmov práce, nie je len akademickou kuriozitou. Je to matematická konštrukcia, ktorá sa môže stať nástrojom zjednotenia v teoretickej fyzike. Inšpirovaná objektmi, ako je amplitúdny mnohostěn – viacrozmerná geometrická figúra vyvinutá vo fyzike častíc na zjednodušenie výpočtov rozptylu –, táto nová geometria ponúka spôsoby reprezentácie fyzikálnych interakcií vo forme objemov vnútri zložitých matematických štruktúr.
Fevola a Sattelberger poukazujú na to, že tieto geometrie umožňujú „prirodzene kódovať prenos informácií medzi fyzikálnymi systémami“, a zdôrazňujú, že táto schopnosť odráža „spôsob, akým ľudia metaforicky chápu svet“. Pomocou týchto štruktúr je možné analyzovať ako častice zrážajúce sa v urýchľovači, tak aj vzory kozmického pozadia.
Tento prístup má jasný cieľ – prekonať fragmentáciu fyzikálnych teórií a priblížiť sa k jednotnému obrazu sveta. Pozitívna geometria, ktorá predstavuje fyzikálne javy vo forme geometrických tvarov a vzťahov, môže slúžiť ako most medzi teóriami, ktoré sú v súčasnosti navzájom nesúvisiace, ako je kvantová fyzika a kozmológia.
Nástroje algebraického analýzy
Na rozvoj tejto koncepcie autori používajú zložitý technický arzenál. Medzi použité nástroje patrí algebraická geometria, ktorá študuje riešenia systémov polynomiálnych rovníc; kombinatorika, ktorá analyzuje štruktúru diskrétnych matematických objektov; a takzvané D-moduly, ktoré umožňujú skúmať diferenciálne rovnice z algebraického hľadiska.
Jedným z kľúčových momentov je použitie Feynmanových integrálov, ktoré sa používajú vo fyzike častíc na výpočet pravdepodobností javov, ako je rozptyl častíc. Tieto integrály možno preformulovať pomocou algebrájskej geometrie: napríklad pri štúdiu polynómov grafov, ktoré predstavujú Feynmanove diagramy, sa objavujú súvislosti s algebrickými varietami a Mellenovými transformáciami.
Fevola a Sattelberger vysvetľujú, že „Feynmanove integrály sú úzko spojené so zovšeobecnenými Eulerovými integrálmi“, ktoré zase môžu byť obmedzené príslušnými geometrickými podpriestormi. Takýto prístup umožňuje prechod z fyzikálneho sveta do matematického a naopak, pričom sa zachováva informácia potrebná na teoretickú analýzu.
Táto vzájomná súvislosť medzi algebraickými štruktúrami a fyzikálnymi javmi ukazuje, že matematika slúži nielen ako nástroj fyziky, ale aj ako koncepčný priestor, z ktorého je možné ju prehodnotiť.
Geometria vesmíru
Okrem častíc sa tie isté nástroje používajú aj v kozmológii. Tu sa pozornosť sústreďuje na štruktúry ako kosmologické mnohosteny, ktoré sú tiež príkladmi pozitívnych geometrií. Tieto objekty umožňujú modelovať korelácie v kozmickom pozadí a na ich základe rekonštruovať fyzikálne zákony, ktoré riadili raný vesmír.
Potenciál tohto prístupu je obzvlášť zrejmý, keď sa zohľadní jeho schopnosť predstavovať zložité korelácie v kompaktnej a presnej forme. Podľa autorov môžu tieto geometrie zjednodušiť výpočty, ktoré sú zvyčajne zložité, a otvoriť tak cestu k opisu počiatočných podmienok vesmíru na základe jeho stopy v prítomnosti.
Takéto použitie geometrie ako fyzického jazyka sa môže zdať abstraktné, ale v skutočnosti súvisí s mocnou intuíciou: formy, proporcie a priestorové štruktúry nie sú len figúry, ale hlboké prejavy zákonov prírody.
Okrem toho je myšlienka, že jedna a tá istá geometrická štruktúra môže opisovať mikroskopické javy aj makroskopické štruktúry, jednou z hlavných ambícií súčasnej teoretickej fyziky.
Teória vo fáze vývoja
Pozitívna geometria nie je zďaleka uzavretou oblasťou, nachádza sa vo fáze aktívneho vývoja. Fevola a Sattelberger uznávajú, že ide o mladú disciplínu, v ktorej je ešte veľa čo vyvinúť a overiť. Podľa ich slov: „Pozitívna geometria je ešte mladá oblasť, ale môže mať významný vplyv na základný výskum vo fyzike a matematike“.
To neznamená, že máme do činenia s bezvýznamnou špekulatívnou teóriou, ale skôr s výskumným smerom, ktorý sa živí aktívnou spoluprácou a konkrétnymi výsledkami. Už existujú prepojenia medzi skupinami výskumníkov v oblasti matematiky, fyziky častíc a kozmológie, ktorí študujú tieto nástroje v rôznych kontextoch.
Dôležité tu nie je toľko to, že sa našlo konečné riešenie, ale skôr to, že sa vytvoril vysvetľujúci a schopný generovať nové otázky koncepčný základ. Práve takýto pokrok postupne transformuje disciplínu a ponúka úplne novú perspektívu.VedaMladá matematička používa háčik, aby vyriešila 40-ročný problém, ktorý položil nositeľ Nobelovej ceny za matematikuEugenio M. Fernández Aguilar
Geometria, harmónia a spomienka na Keplera
Myšlienka, že vesmír možno vysvetliť pomocou geometrických tvarov, nie je nová. V 17. storočí Johann Kepler navrhol, že planéty sa otáčajú po dráhach, ktoré určujú ideálne telesa, ako je kocka alebo dodekaéder. Vo svojej práci Harmonices Mundi predstavil, že vzdialenosti medzi planétami sledujú logiku podobnú hudobnej harmónii, ako keby slnečná sústava bola akousi matematickou partitúrou napísanou božskými zákonmi.
Hoci sa dnes tieto myšlienky z vedeckého hľadiska zdajú nepresné alebo mystické, jeho intuícia, že vesmír môže mať geometrickú štruktúru, nebola úplne nesprávna. V skutočnosti jeho vplyv dal začiatok dlhotrvajúcej tradícii: hľadaniu poriadku a symetrie ako vysvetľujúceho princípu vo fyzike a matematike.
Práca Claudie Favola a Anny-Laury Sattelbergerovej však nespadá do tejto symbolickej alebo metafyzickej oblasti. Nejde o filozofické špekulácie, ale o prísne matematické tvrdenie založené na nástrojoch, ako je algebraická geometria, teória D-modulov alebo príbuzné variety. Skutočnosť, že použité objekty – ako amplitudér alebo kozmologické mnohostenné telesa – majú vizuálne atraktívne tvary, neznamená, že sú založené na ezoterickom pohľade na vesmír, ale odrážajú presné vzťahy medzi fyzikálnymi veličinami.
Tak, hoci nové geometrie môžu vyvolávať vizuálnu harmóniu, ktorá vzdialene pripomína Keplera, ich základ je radikálne odlišný. Ide o formálne matematické modely určené na reprezentáciu údajov, výpočet pravdepodobností alebo skúmanie pozorovaných korelácií. Nesnažia sa vnútiť vesmíru estetický poriadok, ale snažia sa objaviť jazyk, ktorý ho presne opisuje.
Hranica medzi matematikou a fyzikou
V konečnom dôsledku je v stávke niečo viac než len nový výpočtový nástroj. Návrh Fevoly a Sattelbergera poukazuje na zbližovanie abstraktných matematických jazykov a základných fyzikálnych teórií. Namiesto toho, aby sa spoliehala na fragmentárne aproximácie, táto nová geometria sa snaží ponúknuť „spoločný jazyk“ pre javy, ktoré sa doteraz považovali za oddelené.
Takáto práca núti prehodnotiť úlohu matematiky vo výskume vesmíru. Teraz je nielen nástrojom, ale aj možnou základnou štruktúrou fyzikálnej reality. Cesta bude dlhá a mnoho detailov ešte treba objaviť. Ale ak táto práca niečo dokazuje, tak je to fakt, že existujú myšlienky, ktoré môžu zmeniť chápanie zákonov vesmíru.
